12077. Прямые, содержащие медианы треугольника ABC
, вторично пересекают его описанную окружность \omega
в точках A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
. Прямые, проходящие через точки A
, B
, C
и параллельные противоположным сторонам, пересекают \omega
второй раз в точках A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
. Докажите, что прямые A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
, C_{1}C_{2}
пересекаются в одной точке.
Решение. (Решение М.Илюхиной). Оно основывается на следующих фактах.
1. Пусть A'
— точка пересечения касательных к описанной окружности треугольника ABC
в точках B
и C
. Тогда прямая AA'
— симедиана треугольника (см. задачу 10449).
2. Для любого треугольника ABC
и любой точки P
прямые, симметричные прямым AP
, BP
, CP
относительно соответствующих биссектрис треугольника, пересекаются в одной точке (или параллельны), которая называется изогонально сопряжённой точке P
(см. задачу 10176).
Построим точку A'
, как указано в пункте 1 (B'
и C'
определяются аналогично). Пусть прямая AA'
вторично пересекает описанную окружность \omega
в точке A_{0}
. Тогда \angle A_{1}AB=\angle A_{0}AC
, откуда дуги BA_{1}
и CA_{0}
равны. Треугольник A'BC
равнобедренный, а \omega
— окружность, вписанная в его угол BA'C
, поэтому эти дуги симметричны относительно биссектрисы l
этого угла. Из равенства дуг следует, что при этой симметрии точки A_{1}
и A_{0}
переходят друг в друга.
Заметим, что l
— серединный перпендикуляр к отрезку BC
(см. задачу 1180), поэтому точка A
при этой симметрии переходит в A_{2}
, а следовательно, прямая A_{1}A_{2}
переходит в прямую AA'
. Таким образом прямая A_{1}A_{2}
симметрична прямой AA'
относительно биссектрисы угла A'
треугольника A'B'C'
. Аналогично для прямых B_{1}B_{2}
и BB'
, а также для прямых C_{1}C_{2}
и CC'
.
Прямые AA'
, BB'
, CC'
пересекаются в одной точке L
как симедианы треугольника ABC
. Следовательно, прямые A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
, C_{1}C_{2}
также пересекаются в точке, изогонально сопряжённой точке L
относительно треугольника A'B'C'
(см. пункт 1).
Случай, когда одной из точек A'
, B'
, C'
не существует, аналогичен.