12082. Пусть O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Докажите, что:
а) если равны периметры треугольников ABC
, BCD
, CDA
и DAB
, то ABCD
— прямоугольник;
б) если равны периметры треугольников ABO
, BCO
, CDO
и DAO
, то ABCD
— ромб.
Решение. а) Обозначим
AD=x_{1},~AB=x_{2},~BC=x_{3},~CD=x_{4},~BD=y_{1},~AC=y_{2}.
Тогда
\syst{x_{1}+x_{2}+y_{1}=x_{3}+x_{4}+y_{1}\\x_{2}+x_{3}+y_{2}=x_{1}+x_{4}+y_{2}.\\}
Складывая и вычитая эти уравнения, получаем x_{2}=x_{4}
и x_{1}=x_{3}
. Следовательно, ABCD
— параллелограмм.
Из равенства периметров треугольников ABD
и ACD
, т. е.
x_{1}+x_{2}+y_{1}=x_{1}+x_{4}+y_{2}
теперь следует, что y_{1}=y_{2}
. Значит, ABCD
— прямоугольник.
б) Выберем на каждой диагонали AC
и BD
наибольший из отрезков, на которые она делится точкой O
пересечения. Можно считать, изменив, если нужно, обозначения, что AO\gt OC
и BO\geqslant OD
. Пусть C'
и D'
— точки, симметричные относительно O
точкам соответственно C
и D
. Тогда периметр треугольника C'OD'
, равного треугольнику COD
, меньше периметра треугольника AOB
(см. задачу 4824), что противоречит условию задачи.
Из равенств AO=OC
и BO=OD
и равенства периметров сразу следует, что AB=BC=CD=DA
, т. е. ABCD
— ромб.