12085. а) Пусть M
и N
— точки касания окружности, вписанной в треугольник ABC
, со сторонами AB
и AC
, P
— точка пересечения прямой MN
с биссектрисой угла B
. Докажите, что угол BPC
прямой.
б) Докажите более общий факт: если точка O
, расположенная внутри треугольника ABC
, такова, что \angle BOC-\angle BAO=90^{\circ}
, M
и N
— основания перпендикуляров, опущенных из точки O
на стороны AB
и AC
, P
— точка пересечения прямых BO
и MN
, то \angle BPC=90^{\circ}
.
Решение. б) Пусть M
и N
проекции точки O
на стороны AB
и AC
соответственно. Рассмотрим случай, когда точка P
лежит на продолжении отрезка MN
за точку N
.
Из точек M
и N
отрезок AO
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AO
, поэтому
\angle ONM=\angle OAM=\angle BAO.
Кроме того, из равенства \angle BOC-\angle BAO=90^{\circ}
следует равенство \angle BOC=90^{\circ}+\angle BAO
, значит,
\angle COP=180^{\circ}-\angle BOC=180^{\circ}-(90^{\circ}+\angle BAO)=
=90^{\circ}-\angle BAO=90^{\circ}-\angle MAO=\angle AOM=\angle ANM=\angle CNP.
Из точек O
и N
, лежащих по одну сторону от прямой CP
, отрезок CP
виден под одним и тем же углом, значит, точки O
, N
, C
и P
лежат на одной окружности, а так как \angle ONC=90^{\circ}
, то CP
— диаметр этой окружности. Следовательно,
\angle BPC=\angle OPC=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать. Аналогично для любого другого расположения точки O
внутри треугольника ABC
.
а)
Первый способ. См. задачу 58.
Второй способ. Эта задача частный случай пункта а).