12089. Высоты AA_{1}
и CC_{1}
остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке H
, B_{0}
— середина стороны AC
. Прямая, проходящая через вершину B
параллельно AC
, пересекает прямые B_{0}A_{1}
и B_{0}C_{1}
в точках A'
и C'
соответственно. Докажите, что прямые AA'
, CC'
, и BH
пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть прямая AA'
и высота BB_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке P
. Из подобия треугольников BPA'
получаем \frac{BP}{PB_{1}}=\frac{BA'}{AB_{1}}
. Аналогично, если прямая CC'
и высота BB_{1}
пересекаются в точке Q
, то \frac{BQ}{QB_{1}}=\frac{BC'}{CB_{1}}
. Докажем, что \frac{BP}{PB_{1}}=\frac{BQ}{QB_{1}}
, т. е. что точки P
и Q
совпадают. Отсюда будет следовать утверждение задачи.
Треугольник CA_{1}B_{0}
подобен треугольнику BA_{1}A'
, а треугольник BC_{1}C'
— треугольнику AC_{1}B_{0}
, поэтому
\frac{CA_{1}}{A_{1}B}=\frac{CB_{0}}{BA'},~\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=\frac{BC'}{AB_{0}}.
Точка B_{0}
— середина стороны AC
, поэтому AB_{0}=CB_{0}
. По теореме Чевы (см. задачу 1621)
\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{CA_{1}}{A_{1}B}\cdot\frac{BC_{1}}{C_{1}A}=1,
или
\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{CB_{0}}{BA'}\cdot\frac{BC'}{AB_{0}}=1,~\frac{AB_{1}}{B_{1}C}\cdot\frac{BC'}{BA'}=1,
откуда \frac{BA'}{AB_{1}}=\frac{BC'}{CB_{1}}
. Следовательно,
\frac{BP}{PB_{1}}=\frac{BA'}{AB_{1}}=\frac{BC'}{CB_{1}}=\frac{BQ}{QB_{1}}.
Что и требовалось.