12091. В треугольник ABC
вписана окружность с центром I
, касающаяся сторон CA
и AB
в точках E
и F
соответственно. Точки M
и N
на прямой EF
таковы, что CM=CE
и BN=BF
. Прямые BM
и CN
пересекаются в точке P
. Докажите, что прямая PI
делит пополам отрезок MN
.
Решение. Пусть прямые BM
и NI
пересекаются в точке X
, а прямые CN
и MI
— в точке Y
. Докажем, что \frac{IX}{XN}=\frac{IY}{YN}
. Действительно, отношение площадей треугольников BIM
и BMN
равно отношению высот, опущенных на общую сторону BM
, а из подобия соответствующих прямоугольных треугольников это отношение равно \frac{IX}{XN}
, т. е.
\frac{IX}{XN}=\frac{S_{\triangle BIM}}{S_{\triangle BMN}}.
Аналогично,
\frac{IY}{YM}=\frac{S_{\triangle CIN}}{S_{\triangle CMN}}.
Треугольники MCE
, EAF
и FBN
равнобедренные. Поэтому
\angle CEM=\angle AEF=\angle AFE=\angle BFN,
значит, CM\parallel AB
и BN\parallel AC
. Тогда отношение площадей треугольников BMN
и CMN
равно отношению высот, опущенных на общую сторону MN
, а из подобия соответствующих прямоугольных треугольников это отношение равно \frac{BF}{CM}=\frac{BF}{CE}
, т. е.
\frac{S_{\triangle BMN}}{S_{\triangle CMN}}=\frac{BF}{CE}=\frac{BD}{CD},
где D
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной BC
.
Пусть \angle ABC=\beta
. Тогда из параллельности CM
и AB
получаем
\angle DCM=180^{\circ}-\beta,~\mbox{а}~\angle CDM=\frac{\beta}{2}=\angle CBI.
Значит, BI\parallel DM
. Аналогично, CI\parallel DN
.
Тогда треугольники BIM
и BID
равновелики, так как их высоты, опущенные на общую сторону BI
, равны. Аналогично, равновелики треугольники CIN
и CID
. Значит,
\frac{S_{\triangle BIM}}{S_{\triangle CIN}}=\frac{S_{\triangle BID}}{S_{\triangle CID}}=\frac{BD}{DC}.
Таким образом
\frac{IX}{XN}\cdot\frac{MY}{YI}=\frac{S_{\triangle BIM}}{S_{\triangle BMN}}\cdot\frac{S_{\triangle CMN}}{S_{\triangle CIN}}=\frac{S_{\triangle BIM}}{S_{\triangle CIN}}\cdot\frac{S_{\triangle CMN}}{S_{\triangle BMN}}=\frac{BD}{BC}\cdot\frac{BC}{BD}=1
Пусть K
точка пересечения прямых MN
и PI
. Применив теорему Чевы к треугольнику MIN
(см. задачу 1621), получим
\frac{IX}{XN}\cdot\frac{NK}{KM}\cdot\frac{MY}{YI}=1,~\mbox{или}~\frac{NK}{KM}=1~\Leftrightarrow~\left(\frac{IX}{XN}\cdot\frac{MY}{YI}\right)\cdot\frac{NK}{KM}=1~\Leftrightarrow~\frac{NK}{KM}=1.
Следовательно, NK=KM
, т. е. K
— середина отрезка MN
. Что и требовалось доказать.