12093. Во вписанном пятиугольнике отметили середины четырёх сторон, после чего сам пятиугольник стёрли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
Решение. Пусть пятиугольник ABCDE
, вписанный в окружность с центром O
, построен, а K
, L
, M
, N
— середины его сторон AB
, BC
, CD
, DE
соответственно. Пусть P
— середина диагонали BE
пятиугольника. Четырёхугольник MNLP
— параллелограмм (см. задачу 1204), а треугольник KLP
гомотетичен треугольнику ACE
с центром гомотетии B
и коэффициентом \frac{1}{2}
. Значит, B
— точка касания описанных окружностей этих треугольников, а BO
— диаметр описанной окружности треугольника KLP
. Аналогично, DO
— диаметр описанной окружности треугольника MNQ
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим описанные окружности треугольников KLP
и ACE
. Пусть O_{1}
и O_{2}
— их центры, а O
— одна из их точек пересечения. Тогда вершина B
строится как образ точки O
при симметрии относительно O_{1}
. Аналогично строится вершина D
. Вершины A
и C
строятся как образы точки B
при симметрии относительно данной точки K
, а вершина E
— как образ точки D
относительно данной точки N
.
Если описанные окружности треугольников KLP
и MNQ
пересекаются в двух точках, то по каждой из них можно построить пятиугольник. Если оба построенных пятиугольника выпуклые, задача имеет два решения. В противном случае искомый пятиугольник восстанавливается однозначно.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2021, XVII, задача 11, 8-9 классы