12098. Перпендикуляр, опущенный из центра ромба на его сторону, разбивает её на отрезки, равные 1 и 9. Найдите площадь ромба.
Ответ. 60.
Решение. Пусть OH
—перпендикуляр, опущенный из центра O
ромба ABCD
на его сторону AB
. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому OH
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла, а BH=1
и AH=9
. Значит (см. задачу 2928),
OH=\sqrt{BH\cdot AH}=\sqrt{1\cdot9}=3.
Диагонали разбивают ромб на четыре равных треугольника, следовательно,
S_{ABCD}=4S_{\triangle AOB}=4\cdot\frac{1}{2}AB\cdot OH=2AB\cdot OH=2(1+9)\cdot3=60.