2928. Точки M
и N
расположены соответственно на сторонах AB
и AC
треугольника ABC
, причём AM:MB=1:2
, AN:NC=3:2
. Прямая MN
пересекает продолжение стороны BC
в точке F
. Найдите CF:BC
.
Ответ. 1:2
.
Указание. Проведите через вершину A
прямую, параллельную стороне BC
, и рассмотрите две пары подобных треугольников.
Решение. Первый способ. Через точку A
проведём прямую, параллельную BC
. Пусть T
— точка её пересечения с прямой MN
. Обозначим CF=a
.
Из подобия треугольников ANT
и CNF
(коэффициент \frac{3}{2}
) находим, что
AT=\frac{3}{2}CF=\frac{3}{2}a,
а из подобия треугольников AMT
и BMF
(коэффициент \frac{1}{2}
) —
BF=2AT=2\cdot\frac{3}{2}a=3a.
Тогда
BC=BF-CF=3a-a=2a.
Следовательно,
\frac{CF}{BC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}.
Второй способ. Разместим в точках A
, B
, F
массы 2, 1, m
так, чтобы центр масс точек A
, B
, F
оказался в точке N
. Тогда центр масс точек A
и B
будет находится в точке M
, а центр масс точек B
и F
— на пересечении прямых BF
и AN
, т. е. в точке C
. Значит, 1+m=3
, т. е. m=2
. Отсюда FC:BC=1:2
.
Примечание. Разумеется, ответ сразу можно получить из теоремы Менелая (см. задачу 1622).