12103. На боковой стороне AB
равнобедренного треугольника ABC
как на диаметре построена окружность, пересекающая продолжение боковой стороны BC
за точку B
в точке D
. Известно, что \angle ABC=120^{\circ}
и CD=18\sqrt{3}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 108\sqrt{3}
.
Решение. Точка D
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому
\angle ADC=\angle ADB=90^{\circ}
(см. задачу 1689). Из прямоугольных треугольников ADC
и ADB
находим, что
AD=CD\tg\angle ACD=CD\tg30^{\circ}=18\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=18,
BD=AD\ctg\angle ABD=AD\ctg60^{\circ}=18\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}.
Тогда
BC=DC-BD=18\sqrt{3}-6\sqrt{3}=12\sqrt{3},
а так как AD
— высота треугольника ABC
, то
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{3}\cdot18=108\sqrt{3}.