12104. На боковой стороне AC
равнобедренного треугольника ABC
как на диаметре построена окружность, пересекающая продолжение боковой стороны AB
в точке K
. Известно, что \angle ACB=30^{\circ}
и AK=6\sqrt{3}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 108\sqrt{3}
.
Решение. Угол при основании BC
равнобедренного треугольника ABC
равен 30^{\circ}
, поэтому угол при вершине A
равен 120^{\circ}
, т. е. \angle BAC=120^{\circ}
. Тогда \angle CAK=60^{\circ}
.
Точка K
лежит на окружности с диаметром AC
, поэтому
\angle BKC=\angle AKC=90^{\circ}
(см. задачу 1689).
Из прямоугольных треугольников AKC
и BKC
находим, что
CK=AK\tg\angle CAK=AK\tg60^{\circ}=6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=18,
AB=AC=2AK=12\sqrt{3},
а так как CK
— высота треугольника ABC
, то
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CK=\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{3}\cdot18=108\sqrt{3}.