12120. Дан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC
, в котором H
— точка пересечения высот, точки I
и O
— центры вписанной и описанной окружностей. Известно, что точки A
, O
, I
, H
лежат на одной окружности \omega
. Докажите, что окружность \omega
проходит через одну из вершин B
и C
.
Решение. Поскольку \angle CAO=\angle BAH
(см. задачу 20), то лучи AH
и AO
симметричны относительно биссектрисы AI
угла BAC
. Тогда дуги HI
и OI
окружности \omega
равны, а значит, равны отрезки HI
и OI
. Аналогично, лучи BH
и BO
симметричны относительно биссектрисы BI
угла ABC
.
В треугольниках BIO
и BIH
сторона BI
общая, OI=HI
и \angle IBH=\angle IBO
. Тогда либо углы BHI
и BOI
равны, либо составляют в сумме 180^{\circ}
(см. задачу 10280). В первом случае треугольники BIO
и BIH
равны и симметричны относительно прямой BI
, поэтому HO\perp BI
. Во втором случае получаем, что точки B
, H
, I
и O
лежат на одной окружности, значит, окружность \omega
проходит через вершину B
.
Проведя те же самые рассуждения для вершины C
, получаем, что либо HO\perp CI
, либо окружность \omega
проходит через вершину C
. Поскольку прямая HO
не может быть одновременно перпендикулярна биссектрисам BI
и CI
, то одна из вершин B
и C
лежит на окружности \omega
. Что и требовалось доказать.
Автор: Кожевников П. А.
Источник: Журнал «Квант». — 2009, № 3, с. 25, М2137; 2009, № 6, с. 19, M2137
Источник: Задачник «Кванта». — 2009, № 3, М2137