12122. Вписанная окружность треугольника ABC
касается сторон AC
и AB
в точках B_{1}
и C_{1}
соответственно, биссектриса угла A
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке W
, точка I
— центр вписанной окружности, I_{a}
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC
. Докажите, что треугольник ABC
равновелик четырёхугольнику AB_{1}I_{a}C_{1}
.
Решение. Из формулы задачи 12121 и теоремы о трилистнике (см. задачу 788) следует, что
AB\cdot AC=AW^{2}-CW^{2}=AW^{2}-IW^{2}=(AW-IW)(AW+IW)=
=AI(AI+IW+IW)=AI(AI+2IW)=AI(AI+II_{a})=AI\cdot AI_{a}
(см. задачу 57).
Кроме того, четырёхугольник AB_{1}IC_{1}
вписан в окружность с диаметром AI
, поэтому по теореме синусов B_{1}C_{1}=AI\sin\angle BAC
. Поскольку AB_{1}=AC_{1}
и IB_{1}=IC_{1}
, прямая AI
— серединный перпендикуляр к отрезку B_{1}C_{1}
, поэтому диагонали B_{1}C_{1}
и AI_{a}
четырёхугольника AB_{1}I_{a}C_{1}
перпендикулярны. Значит,
S_{AB_{1}I_{a}C_{1}}=\frac{1}{2}B_{1}C_{1}\cdot AI_{a}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\angle BAC=\frac{1}{2}AI\cdot AI_{a}\sin\angle BAC=
=\frac{1}{2}AI\sin\angle BAC\cdot AI_{a}=\frac{1}{2}B_{1}C_{1}\cdot AI_{a}=S_{AB_{1}I_{a}C_{1}}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью И.А.Кушнира «Семейство формул Лагранжа», Квант, 2011, N2, с.40.