12125. Дан четырёхугольник ABCD
, описанный около окружности. Прямая l
проходит через вершину A
, пересекает отрезок BC
в точке M
и луч DC
— в точке N
. Пусть I_{1}
, I_{2}
, I_{3}
— центры окружностей, вписанных в треугольники ABM
, MNC
, NDA
. Докажите, что прямая l
проходит через точку пересечения высот треугольника I_{1}I_{2}I_{3}
.
Решение. Пусть \omega_{1}
, \omega_{2}
и \omega_{3}
— окружности, вписанные в треугольники ABM
, MNC
и NDA
соответственно, H
— точка пересечения высот треугольника I_{1}I_{2}I_{3}
. Пусть касательная к окружности \omega_{1}
, параллельная CD
(ближайшая к CD
из двух таких касательных), пересекает BC
в точке K
и пересекает l
в точке H'
. Пусть прямая, проведённая через точку H'
параллельно BC
, пересекает DC
в точке L
. Четырёхугольники ABCD
и ABKH'
описанные, поэтому AD+CB=CD+AB
и AB-KB=AH'-H'K
. Значит,
AD+LH'=AD+CK=AD+CB-KB=CD+AB-KB=
=CD+AH'-H'K=CD+AH'-CL=(CD-CL)+AH'=LD+AH'.
Мы получили равенство, показывающее, что четырёхугольник AHLD'
также описанный, и значит, LH'
касается окружности \omega_{3}
.
Прямые KH'
и DN
параллельны, поэтому
\angle AH'K+\angle AND=\angle AH'K+\angle NH'K=180^{\circ},
а так как H'I_{1}
и NI_{2}
— биссектрисы углов AH'K
и AND
, то I_{1}H'\perp I_{2}I_{3}
. Аналогично, H'I_{3}\perp I_{1}I_{2}
. Значит, H'I_{1}
и H'I_{3}
— высоты треугольника I_{1}I_{2}I_{3}
, поэтому точка H'
совпадает с H
. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Имеются и другие красивые решения задачи. Например, можно использовать тот факт, что вторая общая внутренняя касательная окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
проходит через точку C
(см. статью Н.Белухова и П.Кожевникова «Описанные четырёхугольники и ломаные», Квант, 2020, N1, с.45-49). В условии нашей задачи при отражении прямой l
относительно сторон треугольника I_{1}I_{2}I_{3}
получаются прямые BC
, DC
и вторая общая внутренняя касательная окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
. Теперь достаточно воспользоваться известным критерием: прямая проходит через ортоцентр треугольника тогда и только тогда, когда три прямые, симметричные ей относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке.
Можно рассуждать и по-другому. Подсчётом углов доказывается, что точка C
лежит на описанной окружности треугольника I_{1}I_{2}I_{3}
. Легко видеть, что точки, симметричные точке C
относительно прямых I_{1}I_{2}
и I_{2}I_{3}
, лежат на прямой l
. Остаётся воспользоваться известным фактом (см. задачу 4877): при отражении точки, лежащей на описанной окружности треугольника, относительно его сторон, полученные три точки лежат на одной прямой, содержащей ортоцентр.