4877. Прямая Штейнера. Докажите, что точки, симметричные относительно сторон треугольника, точке, лежащей на его описанной окружности, лежат на одной прямой, причём эта прямая проходит через точку пересечения высот треугольника.
Решение. Пусть
D
— точка, лежащая на окружности, описанной около треугольника
ABC
;
A_{1}
,
B_{1}
и
C_{1}
— проекции точки
D
на прямые
BC
,
AC
и
AB
соответственно;
A_{2}
,
B_{2}
и
C_{2}
— точки, симметричные точке
D
относительно прямых соответственно
BC
,
AC
и
AB
;
H
— точка пересечения высот треугольника
ABC
.
Заметим, что точки
A_{1}
,
B_{1}
и
C_{1}
лежат на одной прямой — прямой Симсона треугольника
ABC
, соответствующей точке
D
(см. задачу 83). При гомотетии с центром
D
и коэффициентом 2, точки
A_{1}
,
B_{1}
и
C_{1}
переходят в точки соответственно
A_{2}
,
B_{2}
и
C_{2}
. Следовательно, точки
A_{2}
,
B_{2}
и
C_{2}
также лежат на одной прямой, причём эта прямая параллельна прямой Симсона, соответствующей точке
D
.
Докажем, что эта прямая проходит через точку
H
. Для этого достаточно доказать, что
C_{2}H\parallel C_{1}A_{1}
.
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть прямая
CH
вторично пересекает окружность в точке
P
. Тогда точка
P
симметрична точке
H
относительно прямой
AB
, а значит, отрезки
PD
и
C_{2}H
симметричны относительно этой прямой. Кроме того,
C_{2}D\parallel PH
, поэтому
\angle HC_{2}D=\angle PDC_{2}=\angle DPC=\angle DBC,

а так как из точек
C_{1}
и
A_{1}
отрезок
BD
виден под прямым углом, то эти точки лежат на окружности с диаметром
BD
. Значит,
\angle DBC=\angle DBA_{1}=\angle DC_{1}A_{1}.

Таким образом,
\angle HC_{2}D=\angle DC_{1}A_{1}
. Следовательно,
C_{2}H\parallel C_{1}A_{1}
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого треугольника
ABC
и любой точки
D
, лежащей на его описанной окружности.