12129. На сторонах A_{1}A_{2}
, A_{2}A_{3}
, …, A_{n}A_{1}
выпуклого многоугольника A_{1}A_{2}\dots A_{n}
взяты точки B_{1}
, B_{2},\dots,B_{n}
соответственно. Докажите, что круги, описанные вокруг треугольников B_{n}A_{1}B_{1}
, B_{1}A_{2}B_{2}
, B_{2}S_{3}B_{3}
, …, B_{n-1}A_{n}B_{n}
, покрывают весь многоугольник.
Решение. Пусть P
— произвольная точка внутри данного многоугольника. Сумма
(\angle B_{n}A_{1}B_{1}+\angle B_{1}A_{2}B_{2}+\dots+\angle B_{n-1}A_{n}B_{n})+
+(\angle B_{n}PB_{1}+\angle B_{1}PB_{2}+\dots+\angle B_{n-1}PB_{n})
равна
(n-2)\cdot180^{\circ}+360^{\circ}=n\cdot180^{\circ},
поэтому хотя бы одна из сумм
(\angle B_{n}A_{1}B_{1}+\angle B_{n}PB_{1}),~(\angle B_{1}A_{2}B_{2}+\angle B_{1}PB_{2}),~\dots,~(\angle B_{n-1}A_{n}B_{n}+\angle B_{n-1}PB_{n})
не меньше 180^{\circ}
. Но неравенство
(\angle B_{i-1}A_{i}B_{i}+\angle B_{i-1}PB_{i})\geqslant180^{\circ}
означает, что точка P
лежит внутри или на границе круга, описанного около треугольника B_{i-1}A_{i}B_{i}
(считаем, что B_{0}=B_{n}
).
Примечание. Идея этого решения встречалась ранее в классической задаче о том, что выпуклый четырёхугольник целиком покрывается кругами, построенными на его сторонах как на диаметрах (см. задачу 142).