12131. Точка L
лежит на стороне BC
треугольника ABC
. Докажите, что AL
является биссектрисой угла BAC
тогда и только тогда, когда выполнено равенство
(AB+BL)(AC-CL)=AL^{2}.
Решение. Пусть AL
— биссектриса треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 791)
AL^{2}=AB\cdot AC-BL\cdot CL.
Кроме того, по свойству биссектрисы треугольника AB:AC=BL:CL
(см. задачу 1509), откуда AB\cdot CL=AC\cdot BL
. Тогда
(AB+BL)(AC-CL)=(AB\cdot AC-BL\cdot CL)+(BL\cdot AC-AB\cdot CL)=AL^{2}.
Пусть теперь (AB+BL)(AC-CL)=AL^{2}
. Обозначим BL=x
. По теореме косинусов (используя стандартные обозначения BC=a
, CA=b
, AB=c
) получим
AL^{2}=c^{2}+x^{2}-2cx\cos\angle B.
Тогда
(c+x)(b-a+x)=c^{2}+x^{2}-2cx\cos\angle B.
После раскрытия скобок и приведения подобных в этом равенстве уничтожится x^{2}
, значит, получим линейное уравнение относительно x
. Оно не является тождеством для всех x
, так как например, при x=0
получится
(AB+BL)(AC-CL)=c(b-a)\ne c^{2}=AL^{2}
(c(b-a)\ne c^{2}
, так как b-a\ne c
). Значит, это линейное уравнение имеет не более одного корня, а один его корень нам уже известен: он соответствует случаю, когда L
— основание биссектрисы.