12132. Равносторонний треугольник ABC
вписан в окружность \Omega
и описан вокруг окружности \omega
. На сторонах AC
и AB
выбраны точки P
и Q
соответственно так, что отрезок PQ
касается \omega
. Окружность \Omega_{b}
с центром P
проходит через вершину B
, а окружность \Omega_{c}
с центром Q
проходит через вершину C
. Докажите, что окружности {\Omega}
, \Omega_{b}
и \Omega_{c}
имеют общую точку.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр треугольника ABC
. Прямая PO
— линия центров окружностей \Omega
и \Omega_{b}
, поэтому \Omega
и \Omega_{b}
вторично пересекаются в точке X
, симметричной точке B
относительно прямой PO
(рис. 1). Теперь достаточно понять, что точка X
переходит в C
при симметрии относительно прямой QO
. Тогда получим, что точка X
лежит и на окружности \Omega_{c}
.
При последовательном выполнении (композиции) симметрий относительно прямых PO
и QO
точка B
сначала перейдёт в точку X
, а затем в некоторую точку C'
. Заметим, что PO
и QO
— биссектрисы внешних углов треугольника PAQ
, поэтому \angle POQ=60^{\circ}
(см. задачу 4770). Значит, последовательное выполнение симметрий относительно прямых PO
и QO
даёт поворот на 2\cdot60^{\circ}=120^{\circ}
вокруг точки O
(см. задачу 5107, т. е. поворот, переводящий точку B
в точку C
. Значит, точки C'
и C
совпадают. Что нам и требовалось.
Второй способ. Рассмотрим правильный треугольник XYZ
, описанный вокруг \omega
и вписанный в \Omega
, такой, что точки P
и Q
лежат на его стороне YZ
(рис. 2). Тогда X
— требуемая точка. Это следует из того, что треугольники ABC
и XYZ
симметричны друг другу относительно каждой из прямых PO
и QO
.