12146. В прямоугольный треугольник ABC
(\angle B=90^{\circ}
) вписана окружность \Gamma
с центром I
, которая касается сторон AB
и BC
в точках K
и L
соответственно. Прямая, проходящая через точку I
, пересекает стороны AB
и BC
в точках M
и N
соответственно. Найдите радиус окружности \Gamma
, если MK=144
, NL=25
. Найдите AC
, если дополнительно известно, что прямая MN
параллельна AC
.
Ответ. r=60
, AC=390
Решение. Пусть радиус окружности равен r
. Углы KIM
и LNI
равны как соответственные при параллельных прямых KI
и LN
, поэтому прямоугольные треугольники MKI
и ILN
подобны. Значит, \frac{MK}{KI}=\frac{IL}{LN}
, или \frac{144}{r}=\frac{r}{25}
, откуда r=60
. Тогда
BM=BK+KM=r+KM=60+144=204,BN=r+LN=85,
MN=\sqrt{BM^{2}+BN^{2}}=\sqrt{204^{2}+85^{2}}=\sqrt{17^{2}\cdot12^{2}+17^{2}\cdot5^{2}}=
=17\sqrt{12^{2}+5^{2}}=17\cdot13.
Пусть h
— высота треугольника MBN
, проведённая из вершины прямого угла B
. Тогда (см. задачу 1967)
h=\frac{BM\cdot BN}{MN}=\frac{204\cdot85}{17\cdot13}=\frac{12\cdot85}{13}=\frac{1020}{13}.
Если MN\parallel AC
, то треугольники ABC
и MBN
подобны, а коэффициент подобия k
равен отношению высот этих треугольников, проведённых из вершины B
. Остаётся заметить, что высота BH
треугольника ABC
равна
r+h=60+\frac{1020}{13}=\frac{1800}{13},
поэтому
k=\frac{BH}{h}=\frac{\frac{1800}{13}}{\frac{1020}{13}}=\frac{30}{17}.
Следовательно,
AC=k\cdot MN=\frac{30}{17}\cdot17\cdot13=390.