12147. В прямоугольный треугольник ABC
(\angle B=90^{\circ}
) вписана окружность \Gamma
с центром I
, которая касается сторон AB
и BC
в точках K
и L
соответственно. Прямая, проходящая через точку I
, пересекает стороны AB
и BC
в точках M
и N
соответственно. Найдите радиус окружности \Gamma
, если MK=225
, NL=64
. Найдите AC
, если дополнительно известно, что прямая MN
параллельна AC
.
Ответ. r=120
, AC=680
Решение. Пусть радиус окружности равен r
. Углы KIM
и LNI
равны как соответственные при параллельных прямых KI
и LN
, поэтому прямоугольные треугольники MKI
и ILN
подобны. Значит, \frac{MK}{KI}=\frac{IL}{LN}
, или \frac{225}{r}=\frac{r}{64}
, откуда r=120
. Тогда
4BM=BK+KM=r+KM=120+225=345,BN=r+LN=184,
MN=\sqrt{BM^{2}+BN^{2}}=\sqrt{345^{2}+184^{2}}=\sqrt{23^{2}\cdot15^{2}+23^{2}\cdot8^{2}}=
=23\sqrt{15^{2}+8^{2}}=23\cdot17.
Пусть h
— высота треугольника MBN
, проведённая из вершины прямого угла B
. Тогда (см. задачу 1967)
h=\frac{BM\cdot BN}{MN}=\frac{345\cdot184}{23\cdot17}=\frac{12\cdot85}{13}=\frac{2760}{17}.
Если MN\parallel AC
, то треугольники ABC
и MBN
подобны, а коэффициент подобия k
равен отношению высот этих треугольников, проведённых из вершины B
. Остаётся заметить, что высота BH
треугольника ABC
равна
h+r=\frac{2760}{17}+120=\frac{4800}{17},
поэтому
k=\frac{BH}{h}=\frac{\frac{4800}{17}}{\frac{2760}{17}}=\frac{40}{23}.
Следовательно,
AC=k\cdot MN=\frac{40}{23}\cdot23\cdot17=680.