12154. Продолжение высоты BH
треугольника ABC
пересекает описанную около него окружность в точке D
(точки B
и D
лежат по разные стороны от прямой AC
). Градусные меры дуг AD
и CD
, не содержащих точки B
, равны 60^{\circ}
и 90^{\circ}
соответственно. Определите, в каком отношении отрезок BD
делится стороной AC
.
Ответ. \sqrt{3}:1
.
Решение. Обозначим BH=x
, DH=y
. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, поэтому
\angle ABH=\angle ABD=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=30^{\circ},~\angle CBH=\angle CBD=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.
Из прямоугольных треугольников ABH
и CBH
находим, что
AH=\frac{BH}{\sqrt{3}}=\frac{x}{\sqrt{3}},~CH=BH=x.
По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
BH\cdot DH=AH\cdot CH,~\mbox{или}~x\cdot y=\frac{x}{\sqrt{3}}\cdot x,
откуда y=\frac{x}{\sqrt{3}}
. Следовательно,
\frac{BH}{DH}=\frac{x}{y}=\frac{x}{\frac{x}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}.