12155. Продолжение высоты BH
треугольника ABC
пересекает описанную около него окружность в точке D
(точки B
и D
лежат по разные стороны от прямой AC
). Градусные меры дуг AD
и CD
, не содержащих точки B
, равны 120^{\circ}
и 90^{\circ}
соответственно. Определите, в каком отношении отрезок BD
делится стороной AC
.
Ответ. 1:\sqrt{3}
.
Решение. Обозначим BH=x
, DH=y
. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, поэтому
\angle ABH=\angle ABD=\frac{1}{2}\cdot120^{\circ}=60^{\circ},~\angle CBH=\angle CBD=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.
Из прямоугольных треугольников ABH
и CBH
находим, что
AH=BH\sqrt{3}=x\sqrt{3},~CH=BH=x.
По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
BH\cdot DH=AH\cdot CH,~\mbox{или}~x\cdot y=x\sqrt{3}\cdot x,
откуда y=x\sqrt{3}
. Следовательно,
\frac{BH}{DH}=\frac{x}{y}=\frac{x}{x\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2017, 7-8 классы, билет 8, задача 3