12156. В треугольнике ABC
проведена медиана BM
; MD
и ME
— биссектрисы треугольников AMB
и CMB
соответственно. Отрезки BM
и DE
пересекаются в точке P
, причём BP=2
, MP=4
.
а) Найдите отрезок DE
.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника ADEC
можно описать окружность. Найдите её радиус.
Ответ. DE=8
; R=2\sqrt{85}
.
Решение. а) По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BD}{DA}=\frac{BM}{AM}=\frac{BM}{MC}=\frac{BE}{EC},
поэтому DE\parallel AC
. Тогда
\angle PDM=\angle AMD=\angle PMD.
Значит, треугольник DPM
равнобедренный, DP=PM=4
. Аналогично, EP=PM=4
. Следовательно,
DE=DP+PE=8.
б) Трапеция ADEC
вписана в окружность, следовательно, она равнобедренная. Отрезок MP
, соединяющий середины её оснований, перпендикулярен основаниям. Из подобия прямоугольных треугольников BPD
и BMA
находим, что
AM=DP\cdot\frac{BM}{BP}=4\cdot\frac{6}{2}=12.
Пусть EH
— высота трапеции. Тогда
EH=PM=4,~AH=AM+MH=AM+PE=12+4=16,
AE=\sqrt{AH^{2}+EH^{2}}=\sqrt{16^{2}+4^{2}}=4\sqrt{17},
CH=CM-MH=12-4=8,~CE=\sqrt{CH^{2}+EH^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=4\sqrt{5}.
Пусть искомый радиус равен R
и \angle ACE=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\sin\angle HCE=\frac{EH}{CE}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Следовательно, по теореме синусов
R=\frac{AE}{2\sin\alpha}=\frac{4\sqrt{17}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=2\sqrt{85}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2017, 7-8 классы, билет 7, задача 7