12160. В треугольнике ABC
известно, что AB=3
, AC=4
, \angle BAC=60^{\circ}
. Продолжение биссектрисы AA_{1}
пересекает окружность, описанную около треугольника ABC
, в точке A_{2}
. Найдите площади треугольников OA_{2}C
и A_{1}A_{2}C
(O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
).
Ответ. \frac{13\sqrt{3}}{12}
; \frac{13\sqrt{3}}{21}
.
Решение. По теореме косинусов для треугольника ABC
находим, что
BC=\sqrt{16+9-2\cdot3\cdot4\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{13}.
Пусть радиус окружности, описанной около треугольника ABC
, равен R
. По теореме синусов
R=\frac{BC}{2\sin\angle ABC}=\frac{\sqrt{13}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}}.
Центральный угол COA_{2}
соответствует вписанному углу CAA_{1}
, равному по условию 30^{\circ}
, поэтому
\angle COA_{2}=2\angle CAA_{2}=60^{\circ}.
Следовательно,
S_{\triangle OA_{2}C}=\frac{1}{2}OA\cdot OA_{2}\sin\angle COA_{2}=\frac{1}{2}R^{2}\cdot\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot\frac{13}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{13\sqrt{3}}{12}.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4},
поэтому CA_{1}=\frac{4}{7}BC=\frac{4\sqrt{13}}{7}
. Треугольник COA_{2}
равносторонний, поэтому CA_{2}=OC=R
. По теореме о вписанных углах
\angle A_{1}CA_{1}=\angle BCA_{2}=\angle BAA_{2}=30^{\circ}.
Следовательно,
S_{\triangle A_{1}A_{2}C}=\frac{1}{2}CA_{1}\cdot CA_{2}\sin\angle A_{1}CA_{2}=\frac{1}{2}R\cdot CA_{2}\sin30^{\circ}=
=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{4\sqrt{13}}{7}\cdot\frac{1}{2}=\frac{13}{7\sqrt{3}}=\frac{13\sqrt{3}}{21}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2017, 7-8 классы, билет 15, задача 6