12174. Окружность проходит через вершины A
и C
треугольника ABC
и пересекает его стороны AB
и BC
в точках K
и T
соответственно, причём AK:KB=3:2
, BT:TC=1:2
. Найдите AC
, если KT=\sqrt{6}
.
Ответ. 3\sqrt{5}
.
Решение. Пусть BK=2x
, BT=y
. Тогда AK=3x
, CT=2y
. По теореме о произведении всей секущей на её внешнюю часть (см. задачу 2636) BK\cdot BA=BT\cdot BC
, или 2x\cdot5x=y\cdot3y
, откуда y=x\sqrt{\frac{10}{3}}
.
Треугольники ABC
и TBK
подобны по двум сторонам и углу между ними (\frac{BA}{BT}=\frac{BC}{BK}
, угол B
— общий), а коэффициент подобия равен
\frac{BC}{BK}=\frac{3y}{2x}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{10}{3}}=\sqrt{\frac{15}{2}}.
Значит,
AC=KT\sqrt{\frac{15}{2}}=\sqrt{6}\cdot\sqrt{\frac{15}{2}}=3\sqrt{5}.