12175. Окружность проходит через вершины A
и B
треугольника ABC
и пересекает его стороны AC
и BC
в точках Q
и N
соответственно, причём AQ:QC=5:2
, CN:NB=5:2
. Найдите AB
, если QN=5\sqrt{2}
.
Ответ. 7\sqrt{5}
.
Решение. Пусть CQ=2x
, CN=5y
. Тогда AQ=5x
, NB=2y
. По теореме о произведении всей секущей на её внешнюю часть (см. задачу 2636) CQ\cdot CA=CN\cdot CB
, или 2x\cdot7x=5y\cdot7y
, откуда y=x\sqrt{\frac{2}{5}}
.
Треугольники ABC
и NQC
подобны по двум сторонам и углу между ними (\frac{CA}{CN}=\frac{CB}{CQ}
, угол C
— общий), а коэффициент подобия равен
\frac{BC}{BQ}=\frac{7y}{2x}=\frac{7}{2}\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{7}{\sqrt{10}}.
Значит,
AB=QN\cdot\frac{7}{\sqrt{10}}=5\sqrt{2}\cdot\frac{7}{\sqrt{10}}=7\sqrt{5}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2016, 9 класс, билет 14, задача 6