12187. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность с центром O
. Две окружности \Omega_{1}
и \Omega_{2}
равных радиусов с центрами O_{1}
и O_{2}
вписаны в углы ABC
и ADC
соответственно, при этом первая касается стороны BC
в точке K
, а вторая касается стороны AD
в точке T
.
а) Найдите радиус окружности \Omega_{1}
, если BK=3\sqrt{3}
, DT=\sqrt{3}
.
б) Пусть дополнительно известно, что точка O_{1}
— центр окружности, описанной около треугольника BOC
. Найдите угол BDC
.
Ответ. а) r=3
; б) \angle BDC=30^{\circ}
.
Решение. а) Лучи BO_{1}
и DO_{2}
— биссектрисы углов ABC
и ADC
соответственно (см. задачу 1724). Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, поэтому сумма его противоположных углов ABC
и ADC
равна 180^{\circ}
, а сумма их половин KBO_{1}
и TDO_{2}
равна 90^{\circ}
.
Пусть \angle O_{1}BK=\alpha
. Тогда
\angle TO_{2}D=90^{\circ}-\angle TDO_{2}=\alpha.
Пусть радиусы окружностей \Omega_{1}
и \Omega_{2}
равны r
. Выражая двумя способами \tg\alpha
, получаем
\tg\alpha=\frac{O_{1}K}{BK}=\frac{DT}{O_{2}T},~\frac{r}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{r},
откуда r=3
.
б) Треугольник BO_{1}C
равнобедренный, так как O_{1}B=O_{1}C
как радиусы окружности, описанной около треугольника BOC
, поэтому высота этого треугольника также является его медианой. Точки O
, O_{2}
и T
лежат на одной прямой (на серединном перпендикуляре к отрезку BC
), а O_{1}O=O_{1}C=O_{1}B
, так как O_{1}
— центр описанной окружности треугольника BOC
. По теореме Пифагора
O_{1}O=O_{1}B=\sqrt{O_{1}K^{2}+KB^{2}}=\sqrt{9+27}=6,
Возможны два случая: точки O_{1}
и O
могут лежать либо по одну сторону от прямой BC
(рис. 1), либо по разные стороны от неё (рис. 2). В первом случае
OK=OO_{1}+O_{1}K=6+3=9,~\angle BDC=\frac{1}{2}\angle BOC=\angle BOK=
=\arctg\frac{BK}{KO}=\arctg\frac{3\sqrt{3}}{9}=\arctg\frac{\sqrt{3}}{3}=30^{\circ}.
Рассмотрим второй случай. Точка O_{1}
лежит на биссектрисе угла ABC
, поэтому
\angle ABC=2\angle O_{1}BK=2\arctg\frac{O_{1}K}{BK}=2\arctg\frac{3}{3\sqrt{3}}=2\arctg\frac{1}{\sqrt{3}}=2\cdot30^{\circ}=60^{\circ}.
Это означает, что вписанный угол ABC
опирается на дугу ADC
, равную 120^{\circ}
. Вместе с тем дуга BDC
равна соответствующему ей центральному углу BOC
, а
\angle BOC=2\angle BOK=2\arctg\frac{BK}{OK}=2\arctg\frac{BK}{O_{1}O-r}=2\arctg\frac{3\sqrt{3}}{6-3}=2\arctg\sqrt{3}=120^{\circ},
что невозможно, так как в этом случае дуга AC
должна быть меньше дуги BDC
.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2015, 10 класс, билет 2, задача 6