12194. В углы A
и B
треугольника ABC
вписаны соответственно окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
равного радиуса, точка O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Данные окружности касаются стороны AB
в точках K_{1}
, K_{2}
и K
соответственно, при этом AK_{1}=4
, BK_{2}=6
и AB=16
.
а) Найдите AK
.
б) Пусть окружность с центром O_{1}
касается стороны AC
в точке K_{3}
. Найдите угол CAB
, если известно, что точка O_{1}
— центр окружности, описанной около треугольника OK_{1}K_{3}
.
Ответ. а) AK=\frac{32}{5}
; б) \angle CAB=2\arcsin\frac{3}{5}=\arccos\frac{7}{25}
.
Решение. а) Лучи AO_{1}
и BO_{2}
— биссектрисы углов A
и B
треугольника (см. задачу 1724), поэтому они пересекаются в точке O
— центре вписанной окружности. Обозначим радиусы окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
через r
, а радиус вписанной окружности треугольника ABC
через R
.
Прямоугольные треугольники OKB
и O_{2}K_{2}B
подобны, коэффициент подобия равен \frac{R}{r}
, поэтому BK=\frac{6R}{r}
. Аналогично, AK=\frac{4R}{r}
. Тогда
16=BK+AK=\frac{6R}{r}+\frac{4R}{r}=\frac{10R}{r},
откуда \frac{R}{r}=\frac{8}{5}
, а AK=\frac{4R}{r}=\frac{32}{5}
.
б) Точка O_{1}
— центр описанной окружности треугольника OK_{1}K_{3}
, поэтому O_{1}O=O_{1}K_{1}=r
. Опустим из точки O_{1}
перпендикуляр O_{1}H
на отрезок OK
. Тогда
OH=OK-HK=R-r=\frac{8}{5}r-r=\frac{3}{5}r,
\sin\angle OAB=\sin\angle OO_{1}H=\frac{OH}{OO_{1}}=\frac{\frac{3}{5}r}{r}=\frac{3}{5}.
Следовательно,
\angle CAB=2\arcsin\frac{3}{5}=\arccos\frac{7}{25}.