12195. В углы B
и C
треугольника ABC
вписаны соответственно окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
равного радиуса, точка O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
. Данные окружности касаются стороны BC
в точках K_{1}
, K_{2}
и K
соответственно, при этом BK_{1}=4
, CK_{2}=8
и BC=18
.
а) Найдите CK
.
б) Пусть окружность с центром O_{1}
касается стороны AB
в точке K_{3}
. Найдите угол ABC
, если известно, что точка O_{1}
— центр окружности, описанной около треугольника OK_{1}K_{3}
.
Ответ. а) CK=12
; б) \angle ABC=60^{\circ}
.
Решение. а) Лучи BO_{1}
и CO_{2}
— биссектрисы углов B
и C
треугольника (см. задачу 1724), поэтому они пересекаются в точке O
— центре вписанной окружности. Обозначим радиусы окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
через r
, а радиус вписанной окружности треугольника ABC
через R
.
Прямоугольные треугольники OKC
и O_{2}K_{2}C
подобны, коэффициент подобия равен \frac{R}{r}
, поэтому CK=\frac{8R}{r}
. Аналогично, BK=\frac{4R}{r}
. Тогда
18=BK+CK=\frac{4R}{r}+\frac{8R}{r}=\frac{12R}{r},
откуда \frac{R}{r}=\frac{3}{2}
, а CK=\frac{8R}{r}=12
.
б) Точка O_{1}
— центр описанной окружности треугольника OK_{1}K_{3}
, поэтому O_{1}O=O_{1}K_{1}=r
. Опустим из точки O_{1}
перпендикуляр O_{1}H
на отрезок OK
. Тогда
OH=OK-HK=R-r=\frac{3}{2}r-r=\frac{1}{2}r,
\sin\angle OBC=\sin\angle OO_{1}H=\frac{OH}{OO_{1}}=\frac{\frac{1}{2}r}{r}=\frac{1}{2}.
Следовательно,
\angle CAB=2\angle OBC=2\cdot30^{\circ}=60^{\circ}.