12203. В параллелограмме ABCD
угол BCD
равен \arctg\sqrt{15}
. Окружность \Omega
, проходящая через точки B
, C
и D
, пересекает стороны AB
и AD
в точках T
и E
соответственно, причём BT=10
, AE=7
. Найдите площадь параллелограмма ABCD
и радиус окружности \Omega
.
Ответ. S=28\sqrt{15}
, R=\frac{4\sqrt{17}}{\sqrt{5}}
.
Решение. Трапеция BCDT
вписана в окружность, поэтому она равнобокая, DT=BC=AD
. Значит, треугольник BNC
равнобедренный,
\angle DAT=\angle BCD=\arctg\sqrt{15}=\arccos\frac{1}{4}=\arcsin\frac{\sqrt{15}}{4}.
Пусть DH
— высота равнобедренного треугольника ADT
. Тогда
\frac{1}{4}=\cos\angle DAH=\frac{AH}{AD}=\frac{\frac{1}{2}AT}{AD}=\frac{AT}{2AD}.
Положим AD=2x
, AT=x
.
Из точки A
к окружности \Omega
проведены секущие AED
и ATB
, поэтому (см. задачу 2636) AE\cdot AD=AT\cdot AB
, или 7\cdot2x=x\cdot(x+10)
, откуда x=4
. Значит,
AD=2x=8,~AB=x+10=14.
Следовательно,
S_{ABCD}=AB\cdot AD\sin\angle BAD=14\cdot8\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}=28\sqrt{15}.
Окружность \Omega
описана около треугольника BCD
. Пусть её радиус равен R
. По теореме косинусов из треугольника BCD
находим, что
BD=\sqrt{BC^{2}+CD^{2}-2BC\cdot CD\cos\angle BCD}=\sqrt{64+196-2\cdot8\cdot14\cdot\frac{1}{4}}=2\sqrt{51}.
Следовательно, по теореме синусов
R=\frac{BD}{2\sin\angle BCD}=\frac{2\sqrt{51}}{2\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{4\sqrt{17}}{\sqrt{5}}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2013, билет 2, задача 5