12214. В трапеции ABCD
основание BC
равно 5, боковая сторона AB
равна 10. Биссектриса угла BAD
пересекает сторону CD
в точке E
, а прямую BC
— в точке F
, причём AE\perp CD
, EF=4
. Найдите отрезки AE
и AD
, а также площадь трапеции.
Ответ. DE=9
, AD=15
, S=96
.
Решение. Треугольник ABF
равнобедренный, так как \angle AFB=\angle FAD=\angle FAB
, поэтому
BF=AB=10,~CF=BF-BC=10-5=5=BC.
Из прямоугольного треугольника CEF
находим, что CE=3
.
Пусть BT
— высота (а значит, и медиана) равнобедренного треугольника ABF
. Тогда CE\parallel BT
, поэтому CE
— средняя линия прямоугольного треугольника BTF
. Значит,
AT=TF=2EF=8,~AE=AT+TE=8+4=12.
Треугольник AED
подобен FEC
с коэффициентом \frac{AE}{EF}=\frac{12}{4}=3
, поэтому
DE=3CE=9,~AD=3FC=3\cdot5=15.
Высота h
трапеции ABCD
равна сумме высот прямоугольных треугольников AED
и FCE
, проведённых из общей вершины E
, т. е. (см.задачу 1967)
h=\frac{EC\cdot EF}{CF}+\frac{ED\cdot EA}{AD}=\frac{3\cdot4}{5}+\frac{9\cdot12}{15}=\frac{12}{5}+3\cdot\frac{12}{5}=\frac{12}{5}+\frac{36}{5}=\frac{48}{5}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{5+15}{2}\cdot\frac{48}{5}=96.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2012, выезд, вариант Ш, задача 5