12215. В трапеции ABCD
основание BC
равно 5, боковая сторона CD
равна 10. Биссектриса угла ADC
пересекает сторону AB
в точке E
, а прямую BC
— в точке F
, причём DE\perp AB
, BE=4
. Найдите отрезки DE
и AD
, а также площадь трапеции.
Ответ. DE=9
, AD=15
, S=96
.
Решение. Треугольник CFD
равнобедренный, так как \angle CFD=\angle ADF=\angle FDC
, поэтому
CF=CD=10,~BF=CF-BC=10-5=5=BC.
Из прямоугольного треугольника BEF
находим, что EF=3
.
Пусть CT
— высота (а значит, и медиана) равнобедренного треугольника CFD
. Тогда CT\parallel BE
, поэтому BE
— средняя линия прямоугольного треугольника CTF
. Значит,
DT=TF=2EF=6,~DE=DT+TE=6+3=9.
Треугольник AED
подобен BEF
с коэффициентом \frac{DE}{EF}=\frac{9}{3}=3
, поэтому
AE=3BE=12,~AD=3FB=3\cdot5=15.
Высота h
трапеции ABCD
равна сумме высот прямоугольных треугольников BEF
и AED
, проведённых из общей вершины E
, т. е. (см.задачу 1967)
h=\frac{EB\cdot EF}{BF}+\frac{EA\cdot ED}{AD}=\frac{4\cdot3}{5}+\frac{12\cdot9}{15}=\frac{12}{5}+3\cdot\frac{12}{5}=\frac{12}{5}+\frac{36}{5}=\frac{48}{5}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{5+15}{2}\cdot\frac{48}{5}=96.