12266. Точка N
делит диагональ AC
трапеции ABCD
в отношении CN:NA=2
. Основания BC
и AD
трапеции относятся как 1:3
. Через точку N
и вершину D
проведена прямая, пересекающая боковую сторону AB
в точке M
. Какую часть площади трапеции составляет площадь четырёхугольника MBCN
?
Ответ. \frac{7}{32}
.
Решение. Пусть прямые DM
и BC
пересекаются в точке T
. Обозначим через S
площадь трапеции ABCD
. Поскольку \frac{BC}{AD}=\frac{1}{3}
, отношение площадей треугольников ABC
и ACD
равно \frac{1}{3}
. Значит, S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}S
.
Положим BC=a
, AD=3a
. Из подобия треугольников CNT
и AND
получаем, что CT=2AD=6a
, поэтому
BT=CT-BC=6a-a=5a.
Из подобия треугольников AMD
и BMT
получаем, что
\frac{AM}{MB}=\frac{AD}{BT}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}.
Тогда (см. задачу 3007)
S_{\triangle AMN}=\frac{AM}{AB}\cdot\frac{AN}{AC}\cdot S_{\triangle ABC}=\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}S=\frac{1}{32}S.
Значит,
S_{MBCN}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AMN}=\frac{1}{4}S-\frac{1}{32}S=\frac{7}{32}S.
Следовательно, искомое отношение равно \frac{7}{32}
.
Источник: Олимпиада «Курчатов». — 2018-2019, осень 2018, отборочный тур, 11 класс, комплект 1, вариант 1 задача 6