12270. Про четырёхугольник ABCD
известно, что AB=BD
, \angle ABD=\angle DBC
, \angle BCD=90^{\circ}
. На отрезке BC
отмечена такая точка E
, что AD=DE
. Чему равна длина отрезка BD
, если известно, что BE=7
, EC=5
?
Ответ. 17.
Решение. Опустим в равнобедренном треугольнике ABD
высоту из точки D
. Пусть H
— её основание. Поскольку этот треугольник остроугольный
\left(\angle ABD=\angle CBD\lt90^{\circ},~\angle BAD=\frac{180^{\circ}-\angle ABD}{2}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABD\lt90^{\circ}\right),
точка H
лежит на отрезке AB
(см. задачу 127).
Заметим, что прямоугольные треугольники BDH
и BDC
равны по общей гипотенузе BD
и острому углу при общей вершине B
. Тогда BH=BC
и DH=CD
.
Также равны прямоугольные треугольники ADH
и EDC
по гипотенузе AD=ED
и катету DH=CD
. Тогда EC=AH
. Следовательно,
BD=BA=BH+AH=BC+EC=(7+5)+5=17.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2020-2021, XLVII, школьный этап (дистанционно), Москва, № 6, 8 класс