12274. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
сторона BC
вдвое меньше стороны AD
. Диагональ AC
перпендикулярна стороне CD
, а диагональ BD
перпендикулярна стороне AB
. Найдите больший острый угол этого четырёхугольника, если меньший равен 36^{\circ}
.
Ответ. 84^{\circ}
.
Решение. Пусть M
— середина стороны AD
. Углы ABD
и ACD
прямые, поэтому B
и C
четырёхугольника ABCD
тупые, углы A
и D
острые как углы прямоугольных треугольников ABD
и ACD
.
Обозначим \angle A=\alpha
и \angle D=\beta
. Пусть \alpha\lt\beta
. Треугольники ABD
и ACD
прямоугольные, поэтому их медианы, проведённые к AD
, равны половине гипотенузы (см. задачу 1109). Тогда
AM=BM=CM=DM=BC.
Отсюда следует, что (1) \angle ABM=\alpha
(так как треугольник AMB
равнобедренный), (2) \angle DCM=\beta
(так как треугольник CMD
равнобедренный), (3) \angle CBM=\angle BCM=60^{\circ}
(так как треугольник BMC
равносторонний).
Сумма углов четырёхугольника ABCD
равна 360^{\circ}
, значит,
\alpha+(\alpha+60^{\circ})+(\beta+60^{\circ})+\beta=360^{\circ},
откуда следует, что \alpha+\beta=120^{\circ}
, или \beta=120^{\circ}-\alpha
. В данном случае, если \alpha=36^{\circ}
, то
\beta=120^{\circ}-\alpha=120^{\circ}-36^{\circ}=84^{\circ}.
Аналогично, если \beta\lt\alpha
, то \alpha=84^{\circ}
.