12276. Точка M
— середина стороны BC
треугольника ABC
, в котором AB=17
, AC=30
, BC=19
. На стороне AB
как на диаметре построена окружность. На этой окружности выбирается произвольная точка X
. Какое минимальное значение может принимать длина отрезка MX
?
Ответ. 6,5.
Решение. Пусть O
— центр окружности с диаметром AB
(т. е. середина стороны BC
треугольника ABC
). Отрезок OM
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому
OM=\frac{1}{2}AC=15\gt\frac{17}{2}+\frac{1}{2}AB.
Тогда отрезок MX
наименьший, если точка X
лежит на отрезке MO
(см. задачу 467). В этом случае
MX=OM-OX=\frac{1}{2}(AC-AB)=6{,}5.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2020-2021, XLVII, муниципальный этап (дистанционно), Москва, № 5, 9 класс