12296. Окружность с центром O
, вписанная в треугольник ABC
, касается стороны BC
в точке K
. К этой окружности проведена касательная, параллельная биссектрисе AP
треугольника и пересекающая стороны AC
и BC
в точках M
и N
соответственно.
а) Докажите, что \angle MOC=\angle NOK
.
б) Найдите отношение площадей трапеции AMNP
и треугольника ABC
, если MN=1
, AM+PN=3
, а периметр треугольника ABC
равен 14
.
Ответ. 2:7
.
Решение. а) Обозначим \angle ACB=\gamma
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому MO
и NO
— биссектрисы внешних углов при вершинах M
и N
треугольника MCN
. Значит, \angle MON=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}
(см. задачу 4770), а так как CO
— биссектриса угла ACP
, то
\angle OCK=\frac{\gamma}{2},~\angle COK=90^{\circ}-\frac{\gamma}{2}=\angle MON.
Следовательно,
\angle MOC=\angle MON-\angle CON=\angle COK-\angle CON=\angle NOK.
б) Луч MO
— биссектриса угла AMN
, поэтому
\angle AOM=\angle NMO=\angle AMO,
значит, треугольник AOM
равнобедренный, AM=AC
. Аналогично PN=OP
.
Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC
равен r
, а полупериметр треугольника ABC
равен p
. Точка O
лежит на основании AP
трапеции AMNP
, поэтому высота трапеции равна r
. Тогда
S_{AMNP}=\frac{AP+MN}{2}\cdot r=\frac{(AO+OP)+MN}{2}\cdot r=
=\frac{(AM+PN)+MN}{2}\cdot r=\frac{3+1}{2}\cdot r=2r,
S_{\triangle ABC}=pr=7r
(см. задачу 452). Следовательно,
\frac{S_{AMNP}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{2r}{7r}=\frac{2}{7}.