12302. Окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются внешним образом в точке K
. Одна прямая касается их в различных точках A
и B
, а вторая прямая — в различных точках C
и D
(точки A
и D
лежат на окружности с центром O_{1}
).
а) Докажите, что точка K
равноудалена от прямых, содержащих стороны четырёхугольника ABCD
.
б) Лучи BK
и CK
пересекают окружность с центром O_{1}
в точках P
и Q
соответственно. Найдите площадь четырёхугольника ADPQ
, если радиусы окружностей равны 1 и 4.
Ответ. \frac{48}{25}=1{,}92
.
Решение. а) Докажем, что K
— точка пересечения биссектрис трёх углов четырёхугольника ABCD
. Поскольку точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон, отсюда будет следовать, что точка K
равноудалена от прямых, содержащих стороны четырёхугольника ABCD
.
Треугольник BKC
равнобедренный, поэтому из теоремы об угле между касательной хордой следует, что
\angle ABK=\angle BCK=\angle CBK,
т. е. BK
— биссектриса угла ABC
. Аналогично докажем, что лучи AK
и CK
— биссектрисы углов BAD
и BCD
. Следовательно, точка K
равноудалена от прямых BC
, BA
, AD
и DC
.
б) Заметим, что ABCD
равнобедренная трапеция с основаниями AD
и BC
. Пусть общая касательная окружностей, проходящая через точку K
, пересекает AB
в точке L
. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, поэтому LA=LK=LB
, а так как O_{1}LO_{2}
— угол между биссектрисами смежных углов, то треугольник O_{1}LO_{2}
прямоугольный, а LK
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Пусть r=1
и R=4
— радиусы данных окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно. Тогда
AB=2LK=2\sqrt{KO_{1}\cdot KO_{2}}=2\sqrt{rR}=2\cdot2=4.
Из равенства LA=LK=LB
следует также, что треугольник AKL
прямоугольный с прямым углом при вершине K
(см. задачу 1188).
Пусть M
и N
— точки пересечения прямой O_{1}O_{2}
с отрезками AD
и BC
соответственно, F
— проекция точки O_{1}
на радиус O_{2}B
второй окружности. Поскольку \angle AKP=\angle AKB=90^{\circ}
, отрезок AP
— диаметр меньшей окружности. Аналогично, DQ
— также диаметр этой окружности, значит, ADPQ
— прямоугольник. Найдём его стороны.
Прямоугольные треугольники AMO_{1}
и O_{1}FO_{2}
подобны, так как
\angle AO_{1}M=90^{\circ}-\angle FO_{1}O_{2}=\angle O_{1}O_{2}F,
поэтому \frac{AM}{AO_{1}}=\frac{O_{1}F}{O_{1}O_{2}}=\frac{AB}{O_{1}O_{2}}
, откуда
AD=2AM=2\cdot\frac{AO_{1}\cdot AB}{O_{1}O_{2}}=\frac{2r\cdot2\sqrt{rR}}{R+r}=\frac{4r\sqrt{rR}}{R+r}=\frac{8}{5}.
Из того же подобия получаем, что \frac{O_{1}M}{O_{1}A}=\frac{O_{2}F}{O_{1}O_{2}}
, откуда
AQ=2O_{1}M=2\cdot\frac{O_{1}A\cdot O_{2}F}{O_{1}O_{2}}=\frac{2r(R-r)}{R+r}=\frac{6}{5}.
Следовательно,
S_{ADPQ}=AD\cdot AQ=\frac{8}{5}\cdot\frac{6}{5}=\frac{48}{25}.