12305. На сторонах CD
и AD
параллелограмма ABCD
отмечены точки M
и N
соответственно, причём AN:ND=DM:MC
. Отрезки AM
и BN
пересекаются в точке O
.
а) Докажите, что четырёхугольник DMON
равновелик треугольнику ABO
.
б) Прямые BN
и CD
пересекаются в точке P
, лежащей на серединном перпендикуляре к стороне BC
. Известно, что N
— середина стороны AD
, а в четырёхугольник BCDN
можно вписать окружность. Найдите расстояние между центром этой окружности и центром окружности, вписанной в треугольник ABN
, если AD=8\sqrt{2}
.
Ответ. 6.
Решение. а) Из условия задачи следует, что \frac{AN}{AD}=\frac{DM}{DC}
, поэтому треугольники ABN
и ADM
равновелики, так как площадь каждого из них составляет одну и ту же часть площади параллелограмма ABCD
:
S_{\triangle ABN}=\frac{1}{2}\cdot\frac{AN}{AD}\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{DM}{DC}\cdot S_{ABCD}=S_{\triangle ADM}.
Треугольник AON
— общая часть этих треугольников. Следовательно, S_{\triangle ABO}=S_{DMON}
.
б) Обозначим AD=BC=a
, CD=AB=b
. Точка P
равноудалена от концов отрезка BC
, поэтому треугольник BPC
равнобедренный. Тогда BCDN
— трапеция с основаниями BC=a
и DN=\frac{a}{2}
и боковыми сторонами BN=CD=b
. В неё можно вписать окружность, значит, BC+DN=CD+BN
, или a+\frac{a}{2}=2b
, откуда b=\frac{3}{4}a
.
Пусть r_{1}
— радиус этой окружности, O_{1}
— её центр, а DH=h
— высота трапеции. Тогда (см. задачу 1921)
CH=\frac{BC-DN}{2}=\frac{a}{4},~h=DH=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{b^{2}-\frac{a^{2}}{16}}=\sqrt{\frac{9}{16}a^{2}-\frac{a^{2}}{16}}=\frac{a\sqrt{2}}{2},
а так как h=2r_{1}
, то r_{1}=\frac{a\sqrt{2}}{4}
.
Пусть r_{2}
— радиус окружности с центром O_{2}
, вписанной в треугольник ABN
. Этот треугольник подобен треугольнику BPC
с коэффициентом \frac{1}{2}
, значит,
r_{2}=\frac{1}{2}r_{1}=\frac{a\sqrt{2}}{8}.
Пусть F
— проекция точки O_{2}
на прямую O_{1}P
. Тогда
O_{1}F=r_{1}-r_{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}-\frac{a\sqrt{2}}{8}=\frac{a\sqrt{2}}{8},~O_{2}F=\frac{a}{2}.
Из прямоугольного треугольника O_{1}FO_{2}
находим, что
O_{1}O_{2}=\sqrt{O_{1}F^{2}+O_{2}F^{2}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{32}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{3a\sqrt{2}}{8}=\frac{3\cdot8\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{8}=6.