12310. Сторона EF
параллелограмма ADEF
лежит на продолжении за вершину B
стороны BC
прямоугольника ABCD
.
а) Докажите, что точка M
пересечения отрезков AB
и DE
, точка K
пересечения отрезков AC
и DF
, а также середина L
отрезка BE
лежат на одной прямой.
б) Найдите KM
, если BC=8
, AB=20
, CM\perp DE
, а AM\lt BM
.
Ответ. \frac{8\sqrt{2}}{7}
.
Решение. а) Поскольку EF=AD=BC
, середина L
отрезка BE
является серединой отрезка CF
. Пусть N
— середина AD
. Тогда точка K
пересечения диагоналей трапеции ADCF
лежит на отрезке NL
, соединяющем середины оснований AD
и CF
этой трапеции (см. задачу 1513).
С другой стороны, точка M
пересечения диагоналей трапеции ADBE
лежит на отрезке NL
, соединяющем середины N
и L
оснований AD
и BE
трапеции ADBE
. Следовательно, точки K
и M
лежат на прямой NL
. Отсюда следует требуемое утверждение.
б) Обозначим MB=x
и BE=y
. Отрезок MB
— высота прямоугольного треугольника CME
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому MB^{2}=BC\cdot BE
, или x^{2}=8y
, откуда y=\frac{x^{2}}{8}
. Из подобия треугольников BME
и CDE
получаем, что \frac{BM}{BE}=\frac{CD}{CE}
, или \frac{x}{y}=\frac{20}{8+y}
. Из системы
\syst{y=\frac{x^{2}}{8}\\\frac{x}{y}=\frac{20}{8+y}\\}
находим, что x=16
, y=32
или x=4
, y=2
. Условию AM\lt BM
удовлетворяет только первое решение. Следовательно, BM=x=16
и BE=y=32
.
Пусть P
— середина отрезка BC
. Тогда
PL=BL+BP=16+4=20.
Из равнобедренного прямоугольного треугольника PNL
находим, что LN=NP\sqrt{2}=20\sqrt{2}
.
Треугольник AKN
подобен треугольнику CKL
с коэффициентом
\frac{AN}{CL}=\frac{4}{16+8}=\frac{1}{6}.
Значит, KN=\frac{1}{7}LN
.
Треугольник AMN
подобен треугольнику MBL
с коэффициентом
\frac{AN}{BL}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}.
Значит, MN=\frac{1}{5}LN
. Следовательно,
KM=MN-KN=\frac{1}{5}LN-\frac{1}{7}LN=\frac{2}{35}LN=\frac{2}{35}\cdot20\sqrt{2}=\frac{8\sqrt{2}}{7}.