12313. Точка M
лежит на катете AC
прямоугольного треугольника ABC
, а точка N
— на продолжении катета BC
за точку C
. При этом CM=BC
и CN=AC
.
а) Докажите, что медианы CP
и CQ
треугольников ACB
и NCM
перпендикулярны.
б) Пусть K
— точка пересечения прямых MN
и AB
, а L
— точка пересечения прямых BM
и AN
. Найдите отношение площади треугольника ALK
к площади треугольника BMN
, если \tg\angle BAC=\frac{3}{4}
.
Ответ. 2:75
.
Решение. а) Обозначим \angle BAC=\alpha
. Прямоугольные треугольники NCM
и ABC
равны по двум катетам, поэтому \angle MNC=\alpha
. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла CP=AP
и CQ=QM
, значит,
\angle ACP=\angle PAC=\angle BAC=\alpha,~
\angle ACQ=\angle MCQ=\angle CMQ=90^{\circ}-\angle CNM=\angle90^{\circ}-\alpha.
Следовательно,
\angle PCQ=\angle ACP+\angle ACQ=\alpha+90^{\circ}-\alpha=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
б) Треугольники ACN
и BCM
прямоугольные и равнобедренные, поэтому
\angle MAL=\angle CAN=45^{\circ},~\angle AML=\angle BMC=45^{\circ}.
Значит,
\angle ALB=\angle ALM=180^{\circ}-45^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ},
а так как AC\perp BN
, то BL
и AC
— высоты треугольника ABN
, а M
— точка пересечения высот этого треугольника. Тогда NK
— его третья высота.
Поскольку \tg\alpha=\frac{3}{4}
, то \cos\alpha=\frac{4}{5}
и \sin\alpha=\frac{3}{5}
.
Треугольник ALK
подобен треугольнику ABN
с коэффициентом k=\cos\angle BAN
(см. задачу 19), а так как
k=\cos\angle BAN=\cos(\alpha+45^{\circ})=\cos\alpha\cos45^{\circ}-\sin\alpha\sin45^{\circ}=
=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\right)=\frac{\sqrt{2}}{10},
то
S_{\triangle ALK}=k^{2}S_{\triangle ABN}=\frac{1}{50}S_{\triangle ABN}.
У треугольников BMN
и ABN
общее основание BN
, значит, отношение их площадей равно отношению высот MC
и AC
. Тогда
S_{\triangle BMN}=\frac{MC}{AC}\cdot S_{\triangle ABN}=\frac{BC}{AC}\cdot S_{\triangle ABN}=\tg\alpha\cdot S_{\triangle ABN}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABN}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ALK}}{S_{\triangle BMN}}=\frac{\frac{1}{50}S_{\triangle ABN}}{\frac{3}{4}S_{\triangle ABN}}=\frac{\frac{1}{50}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{75}.