12314. Гипотенуза AB
прямоугольного треугольника ABC
является диаметром полуокружности, расположенной вне треугольника. Биссектриса прямого угла треугольника ABC
пересекает эту полуокружность в точке L
. Прямая, проходящая через точку L
и середину гипотенузы, пересекает катет BC
в точке M
.
а) Докажите, что \angle BML=\angle BAC
.
б) Найдите площадь треугольника ABC
, если AB=20
и CM=3\sqrt{5}
.
Ответ. 80.
Решение. а) Пусть O
— середина AB
. Поскольку CL
— биссектриса вписанного угла ACB
, точка L
— середина полуокружности (см. задачу 430), значит, LA=LB
. Медиана LO
равнобедренного треугольника ALB
является его высотой, значит, LM\perp AB
. Следовательно,
\angle BML=90^{\circ}-\angle MBO=90^{\circ}-\angle ABC=\angle BAC.
б) Обозначим BM=x
. Прямоугольный треугольник MBO
подобен прямоугольному треугольнику ABC
, значит, \frac{OB}{BM}=\frac{BC}{AB}
, или
\frac{10}{x}=\frac{x+3\sqrt{5}}{20}~\Leftrightarrow~x^{2}+3x\sqrt{5}-200=0.
Условию задачи удовлетворяет положительный корень x=5\sqrt{5}
этого уравнения. Тогда
BC=CM+BM=CM+x=3\sqrt{5}+5\sqrt{5}=8\sqrt{5},
AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{400-320}=4\sqrt{5}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{5}\cdot8\sqrt{5}=80.