12315. Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD
, касается боковой стороны CD
в точке M
. Прямая AM
вторично пересекает окружность в точке N
, а также пересекает продолжение основания BC
в точке K
. При этом AN=5
и MN=15
.
а) Докажите, что треугольник CMK
равнобедренный.
б) Найдите стороны трапеции.
Ответ. 20; 12; 16; 16.
Решение. а) Пусть P
и Q
— точки касания окружности с основаниями AD
и BC
соответственно. Тогда P
и Q
— середины оснований. По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
AP^{2}=AM\cdot AN=(AN+MN)\cdot AN=20\cdot5,~AP=10.
Значит, AD=2AP=20
.
Треугольник DMA
равнобедренный (AM=20=AD
), следовательно, подобный ему треугольник KMC
также равнобедренный (KC=KM
).
б) Обозначим BQ=QC=CM=x
. Из подобия треугольников KMC
и AMD
получаем, что
CK=AD\cdot\frac{CM}{DM}=20\cdot\frac{x}{10}=2x.
По теореме о касательной и секущей
KQ^{2}=KM\cdot KN,~\mbox{или}~9x^{2}=2x(2x+15),
откуда x=6
. Следовательно,
BC=2CQ=2x=12,~AB=CD=CM+MD=x+10=16.