12317. Отрезок LP
— высота прямоугольного треугольника KLM
, проведённая из вершины прямого угла. На катетах KL
и ML
отмечены точки A
и B
соответственно, причём \angle APB=90^{\circ}
.
а) Докажите, что LP\leqslant AB
.
б) Найдите BL
, если известно, что KL=6
, ML=9
и AL=2
.
Ответ. 6.
Решение. а) Из точек L
и P
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Следовательно, хорда LP
этой окружности не превосходит диаметра AB
(см. задачу 3538).
б) Пусть окружность, описанная около четырёхугольника APBL
, вторично пересекает гипотенузу KM
в точке D
. Тогда LD
— диаметр окружности, а так как AB
— тоже диаметр, то ADBL
— прямоугольник. Значит, BL=AD
. Следовательно,
BL=AD=AK\tg\angle LKM=(KL-AL)\cdot\frac{ML}{KL}=(6-2)\cdot\frac{9}{6}=6.