1233. В равнобедренной трапеции высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите среднюю линию трапеции.
Ответ. 10.
Указание. Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную диагонали (или см. задачу 1234).
Решение. Первый способ. Через вершину C
меньшего основания BC
трапеции ABCD
проведём прямую, параллельную диагонали BD
. Пусть M
— точка пересечения этой прямой с продолжением основания AD
, CK
— высота трапеции.
Поскольку CM=BD=AC
и \angle ACM=90^{\circ}
, то \angle CMK=45^{\circ}
и KM=CK
. Следовательно, средняя линия трапеции равна
\frac{BC+AD}{2}=\frac{AD+DM}{2}=\frac{1}{2}AM=MK=CK=10.
Второй способ. Пусть P
и Q
— середины оснований соответственно BC
и AD
, а R
и S
— середины боковых сторон соответственно AB
и CD
данной трапеции ABCD
. Стороны четырёхугольника PSQR
параллельны диагоналям трапеции как средние линии соответствующих треугольников, поэтому PSQR
— прямоугольник. Его диагональ PQ
равна высоте трапеции, а диагональ RS
— средней линии трапеции. Поскольку диагонали прямоугольника равны, то RS=PQ=10
.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 82, с. 26