12331. Биссектриса CM
треугольника ABC
делит сторону AB
на отрезки AM=17
и MB=19
. Касательная к описанной окружности треугольника ABC
, проходящая через точку C
, пересекает прямую AB
в точке D
. Найдите CD
.
Ответ. \frac{323}{2}=161{,}5
.
Решение. Первый способ. Обозначим CD=x
, AD=y
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle ACD=\angle ABC=\angle DBC
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle CMD=\angle MBC+\angle BCM=\angle ACD+\angle ACM=\angle DCM.
Значит, треугольник CDM
равнобедренный, CD=DM
.
Треугольники ACD
и CBD
подобны по двум углам (угол при вершине D
— общий), причём коэффициент подобия равен
k=\frac{CA}{CB}=\frac{AM}{MB}=\frac{17}{19}
(см. задачу 1509). Значит,
y=AD=kCD=\frac{17}{19}x,
x=CD=DM=DA+AM=y+17=\frac{17}{19}x+17.
Из равенства x=\frac{17}{19}x+17
находим, что
x=\frac{17\cdot19}{2}=\frac{323}{2}=161{,}5.
Второй способ. В обозначениях первого способа по теореме о касательной и секущей
x^{2}=CD^{2}=DA\cdot DB=y(y+36)=\frac{17}{19}x\left(\frac{17}{19}x+36\right),~x\ne0,
откуда
x\left(1-\frac{17^{2}}{19^{2}}\right)=\frac{17\cdot36}{19},~\frac{x(19^{2}-17^{2})}{19^{2}}=\frac{17\cdot36}{19},
x(19-17)(19+17)=17\cdot19\cdot36.
Следовательно,
x=\frac{17\cdot19}{2}=\frac{323}{2}=161{,}5.
Источник: Диагностические и тренировочные задачи ОГЭ (ГИА). — 2021, задача 25