12332. Медиана BM
треугольника ABC
является диаметром окружности, пересекающей сторону BC
в её середине. Длина стороны AC
равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC
.
Ответ. 2
Решение. Середина K
стороны BC
лежит на окружности с диаметром BM
, значит, \angle BKM=90^{\circ}
. Медиана MK
треугольника BMC
является его высотой, поэтому треугольник BMC
равнобедренный, MC=BM
. Значит, AM=MC=BM
. В треугольнике ABC
медиана BM
равна половине стороны AC
, поэтому треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине B
(см. задачу 1188). Радиус R
окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, следовательно, R=\frac{1}{2}AC=2
.