12341. В треугольнике ABC
биссектриса BE
и медиана AD
перпендикулярны и обе равны 96. Найдите стороны треугольника ABC
.
Ответ. 24\sqrt{13}
, 48\sqrt{13}
, 72\sqrt{5}
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения отрезков BE
и AD
. Треугольник ABD
равнобедренный, так как его биссектриса BP
является высотой. Поэтому
AP=OD=48,~BC=2BD=2AB.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}.
Тогда AC=3AE
.
Проведём через вершину D
прямую, параллельную BE
. Пусть M
— точка пересечения этой прямой со стороной AC
. Тогда CM=ME=AE
, поэтому DM
— средняя линия треугольника BEC
, а OE
— средняя линия треугольника ADM
. Значит,
DM=\frac{1}{2}BE=48,~OE=\frac{1}{2}DM=24,~BO=96-24=72.
По теореме Пифагора
AB=\sqrt{AO^{2}+BO^{2}}=\sqrt{48^{2}+72^{2}}=24\sqrt{2^{2}+3^{2}}=24\sqrt{13},
AE=\sqrt{AO^{2}+OE^{2}}=\sqrt{48^{2}+24^{2}}=24\sqrt{2^{2}+1}=24\sqrt{5}.
Следовательно,
BC=2BD=2AB=48\sqrt{13},~AC=3AE=72\sqrt{5}.