12346. Площадь равнобокой трапеции равна 450. Окружность, построенная на боковой стороне трапеции как на диаметре, касается прямой, содержащей другую боковую сторону, и делит большее основание трапеции в отношении 25:24
. Найдите стороны трапеции.
Ответ. 30,30,1,49
или 30,30,\frac{3}{4},\frac{147}{4}
.
Решение. Пусть BH=h
— высота данной равнобокой трапеции ABCD
с основаниями AD\gt BC
, M
и N
— середины боковых сторон AB
и CD
соответственно, AB=2R
— диаметр окружности, касающейся прямой CD
в точке P
.
Поскольку отрезок AH
равен полуразности оснований, а отрезок DH
— полусумме (см. задачу 1921), то AH\lt DH
. Положим AH=24k
, DH=25k
. Отрезок MN
—средняя линия трапеции, поэтому
MN=\frac{AD+BC}{2}=DH=25k.
По условию задачи S_{ABCD}=450
, или
\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=DH\cdot BH=25k\cdot h=450,
откуда h=\frac{18}{k}
.
Обозначим
\angle MNP=\angle ADC=\angle BAD=\alpha.
Из прямоугольных треугольников NPM
и AHB
получаем
\sin\alpha=\sin\angle MNP=\frac{MP}{MN}=\frac{R}{25k},~\cos\alpha=\cos\angle BAH=\frac{AH}{AB}=\frac{24k}{2R}=\frac{12k}{R},~
а так как
\sin\alpha=\frac{BH}{AB}=\frac{h}{2R},
то из равенств \frac{h}{2R}=\frac{R}{25k}
и h=\frac{18}{k}
получаем, что
R^{2}=\frac{1}{2}\cdot25kh=\frac{1}{2}\cdot25k\cdot\frac{18}{k}=25\cdot9,
откуда R=15
. Следовательно,
CD=AB=2R=30.
Кроме того,
\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1,
поэтому
\left(\frac{R}{25k}\right)^{2}+\left(\frac{12k}{R}\right)^{2}=1,~\mbox{или}~\left(\frac{3}{5k}\right)^{2}+\left(\frac{4k}{5}\right)^{2}=1,~16k^{4}-25k^{2}+9=0,
откуда k=1
или k=\frac{3}{4}
.
В первом из этих случаев
AD=AH+AD=24K+25K=49k=49,
BC=AD-2AH=49k-2\cdot24k=k=1,
во втором —
AD=49k=49\cdot\frac{3}{4}=\frac{147}{4},~BC=k=\frac{3}{4}.