12360. Первая окружность с центром в точке O
вписана в треугольник ABC
. Точки A
и B
лежат на второй окружности с центром в той же точке O
. Прямая AC
пересекает вторую окружность в точке D
, отлично от A
, а прямая BC
пересекает вторую окружность в точке E
, отличной от B
. Известно, что угол ABC
равен углу CAE
. Найдите косинус угла BAC
.
Ответ. \frac{\sqrt{5}+1}{4}
.
Решение. Точки D
и E
лежат вне отрезков AC
и BC
соответственно. В противном случае дуга DE
, не содержащая точки B
, является частью дуги AE
(и не совпадает с ней), что противоречит равенству углов ABC
и CAE
.
Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABD
, поэтому OA=OB=OD
, т. е. треугольники AOB
, BOD
и AOD
равнобедренные. Лучи AO
и BO
— биссектрисы углов треугольника ABC
, поэтому треугольник ABC
тоже равнобедренный, AC=BC
.
Обозначим \angle ABC=\beta
. Вписанные углы DAE
и DBE
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle DBC=\angle DBE=\angle DAE=\angle ABE=\angle ABC=\beta,~\angle ABD=2\beta.
Кроме того,
\angle ADO=\angle DAB=\angle BAO=\frac{\beta}{2},~\angle BAD=\beta,
\angle ADB=\angle ADO+\angle ODB=\frac{\beta}{2}+\angle OBD=\frac{\beta}{2}+\left(\frac{\beta}{2}+\beta\right)=2\beta.
Таким образом, углы треугольника ABD
равны \beta
, 2\beta
и 2\beta
. Из равенства
180^{\circ}=\beta+2\beta+2\beta=5\beta
находим, что \beta=36^{\circ}
. Следовательно,
\cos\angle BAC=\cos\beta=\cos36^{\circ}=1-2\sin18^{\circ}=1-2\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}
(см. задачу 1494).
Источник: Олимпиада «Шаг в будущее». — 2019-2020, заключительный этап, задача 6, вариант 1, 10 класс