12370. В прямоугольном треугольнике ABC
с прямым углом A
проведена высота AH
. На продолжении гипотенузы BC
за точку C
нашлась точка X
, для которой
HX=\frac{BX+CX}{3}.
Докажите, что 2\angle ABC=\angle AXC
.
Решение. Поскольку CX=HX-CH
, данное равенство можно переписать как
3HX=BH+CX=BH+(HX-CH),
откуда
HX=\frac{1}{2}(HX-CH)\gt0.
Пусть M
— середина гипотенузы BC
. Тогда
HM=|CM-CH|=\left|\frac{1}{2}BC-CH\right|=\left|\frac{1}{2}(BH+CH)-CH\right|=
=\left|\frac{1}{2}(BH-CH)\right|=\frac{1}{2}(BH-CH)=HX,
т. е. H
— середина MX
.
Треугольник MAX
равнобедренный, так как его высота AH
является медианой. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (см. задачу 1109), поэтому треугольник AMB
тоже равнобедренный, MA=MB
. Следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle AXC=\angle AXM=\angle ABM+\angle BAM=2\angle ABM=2\angle ABC.
Что и требовалось доказать.